Le dimostrazioni: cosa sono? A cosa servono? Piacciono o no? Sono ostiche?

Ecco un vademecum per scoprire cosa sono  quelle strane cose di nome “dimostrazioni logiche” che tanto ci hanno fatto penare a scuola e che pure usiamo tutti i giorni.

01. Le dimostrazioni sono ragionamenti basati su regole

Si tratta di regole stabilite e generali, che ci permettono di trarre da premesse vere conseguenze vere, ragionevoli e ben fondate.

02. Le dimostrazioni sono il motore della logica

Per questo la logica viene definita scienza delle forme inferenziali e cioè delle deduzioni.

03. Le dimostrazioni sono nate in Grecia ma la loro formalizzazione è recentissima

Furono per primi i filosofi Talete, Parmenide, Zenone, i Sofisti Aristotele a parlare di dimostrazioni ma lo fecero utilizzando il linguaggio naturale e cioè quello che usiamo tutti i giorni.
L’enunciato di Parmenide

“L’essere è e non può non essere”

è la resa a parole del principio di identità “A = A” (che si può scrivere anche nella forma “A → A” e che si legge “A implica A”) e del principio di non contraddizione – (A & – A) che si legge “non (A e non A)“, principi logici che governano il buon funzionamento delle regole di deduzione.

Il primo a non usare il linguaggio naturale ma quello più generale della geometria fu Euclide.
I cinque postulati che descrive Euclide nei suoi Elementi rappresentano un primo esempio di teoria della dimostrazione per la geometria.
Dai 5 postulati discende infatti tutto ciò che possiamo sapere della geometria in modo “matematico” e cioè generale e rigoroso, ovvero valido per tutti i casi specifici.

Alla fine dell’Ottocento il filosofo logico e matematico tedesco Gottlob Frege ne volle dare una forma ancor più universale e affidabile, che valesse non soltanto per la matematica, ma anche per il linguaggio in generale.

La geometria euclidea era stata messa in discussione e d’altra parte si voleva poter usare un sistema formale autentico, generale e astratto, il più possibile lontano dal linguaggio naturale.

04. Dove c’è logica c’è dimostrazione, ma 2 sono i tipi più comuni

Tra le dimostrazioni le più comuni sono:

  1. dimostrazioni matematiche
    • algebriche
    • analitiche
    • geometriche
  2. dimostrazioni logiche

05. La logica, a differenza della matematica, usa dimostrazioni in modo “formale”

Sia la matematica sia la logica usano le dimostrazioni.
Ma solo la logica lo fa in modo formale e cioè esplicitando ogni passaggio.

Dietro una dimostrazione algebrica c’è da fare conti.
Dietro una dimostrazione logica c’è da fare deduzioni su proposizioni logiche, ovvero proposizioni del linguaggio naturale formalizzate, da cui cioè abbiamo eliminato ogni riferimento concreto.

06. Le dimostrazioni logiche sono talmente pedanti che anche un robot riesce a capirle.

Le regole che governano una dimostrazione logica sono generali e prestabilite.

Vengono esplicitate ad ogni passaggio logico e cioè indicano in ogni momento il tipo di deduzione da compiere e cioè la regola da applicare, ad esempio se introdurre un connettivo o eliminarlo.

In altri termini le dimostrazioni indicano in modo chiaro e sicuro come una conclusione vera si ottiene da premesse vere.

La richiesta di esplicitare ogni passaggio semplifica talmente il ragionamento che anche una macchina è in grado di farlo.

È qui che appare chiaro il legame tra logica e calcolo noto come Proof as programs o corrispondenza Curry-Howard.
In altri termini, se un computer è in grado di “ragionare” è proprio grazie alla “pedanteria” delle regole di deduzione della logica, che rendono le prove logiche comprensibili anche ad una macchina.

07. In un ragionamento le dimostrazioni sono simili a ramificazioni

Un’immagine che bene ne rappresenta la struttura è quella delle diramazioni di un albero, molto usata in informatica.

08. Le dimostrazioni fanno parte della vita di tutti i giorni

Un esempio?
Se sai che ogni lunedì sono di pessimo umore, e invece oggi vedi che sono sorridente, allora deduci che oggi è un giorno diverso da lunedì. Magari sabato, o martedì, ma non lunedì.

09. Le dimostrazioni sono una nostra invenzione

È probabile che quando l’uomo iniziò a “ragionare” sulle cose di tutti i giorni si sia chiesto se esistessero delle strutture generali capaci di aiutarlo a semplificare e generalizzare certi processi, ad esempio il volume che dovevano avere i magazzini di grano in base al raccolto annuale (mi invento: numero di spighe per numero di chicchi per dimensione del chicco).

Il passo successivo probabilmente fu il domandarsi come mai quell’operazione funzionasse proprio in quel modo e perché e da lì, a suon di prove (!), ottenere una dimostrazione, più generale e astratta, applicabile a tutti i casi simili.

10. Le dimostrazioni sono pallose, ma dipende dalle persone e dalle dimostrazioni

Quasi nessuno trova ostico fare dimostrazioni e capirle se la dimostrazione è geometrica, e cioè fatta utilizzando figure geometriche. Oppure ben esplicitata come le dimostrazioni logiche.

Un esempio?
Il teorema di Pitagora spiegato con l’acqua, come in questo video.